1. Исследовать функцию по схеме: a. Найти область определения функции b. Найти область значений функции c. Найти нули функции d. Найти промежутки возрастания и убывания функции

Чтобы исследовать функцию, давайте рассмотрим конкретный пример. Предположим, у нас есть фу...

Область определения функции — это множество всех значений $x$, для которых функция определена. В данном случае функция $f(x) = \frac{1}{x-2}$ не определена, когда знаменатель равен нулю.

Решим уравнение:

$$x - 2 = 0 \implies x = 2$$

Таким образом, область определения функции:

$$D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2 \}$$

Область значений функции — это множество всех возможных значений $f(x)$. Поскольку функция $f(x) = \frac{1}{x-2}$ может принимать любые значения, кроме нуля (так как $\frac{1}{x-2} = 0$ невозможно), область значений будет:

$$E_f = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \neq 0 \}$$

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$.

Решим уравнение:

$$\frac{1}{x-2} = 0$$

Это уравнение не имеет решений, так как дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а в нашем случае числитель равен 1. Таким образом, нулей функции нет:

$$f(x) \text{ не имеет нулей.}$$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, найдем производную $f(x)$.

$$f(x) = (x-2)^{-1}$$

Используем правило дифференцирования:

$$f(x) = -1 \cdot (x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x-2)^2}$$

Производная $f(x)$ всегда отрицательна для всех $x \neq 2$, так как квадрат любого числа положителен. Это означает, что функция убывает на всей своей области определения.

Таким образом, промежутки убывания:

$$\text{Функция убывает на } (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$$

1. Область определения: $D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2 \}$
2. Область значений: $E_f = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \neq 0 \}$
3. Нули функции: нет
4. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает на $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$