5. Используя интегральную формулу Коши, вычислить интеграл: [ int_{L} rac{t g z}{zleft(z- rac{pi}{4} ight)^{2}} d z, quad L:|z|=1 ]

Для вычисления интеграла

$$\int_{L} \frac{t g z}{z\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{2}} d z$$

где $L: |z|=1$, мы будем использовать интег...

Рассмотрим функцию

$$f(z) = \frac{t g z}{z\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{2}}.$$

Эта функция имеет особенности в точках $z = 0$ и $z = \frac{\pi}{4}$. Поскольку $|z| = 1$, мы должны проверить, попадают ли эти точки внутрь контура интегрирования.

• Точка $z = 0$ находится внутри круга $|z| = 1$.
• Точка $z = \frac{\pi}{4}$ (примерно 0.785) также находится внутри круга $|z| = 1$.

Точка $z = 0$ является простой полюс, а точка $z = \frac{\pi}{4}$ является полюсом второго порядка.

Интегральная формула Коши для функции $f(z)$ с полюсом порядка $n$ в точке $z_0$ гласит:

$$\int0),$$

где $n$ — порядок полюса.

Мы должны вычислить два интеграла: один для полюса в $z = 0$ и другой для полюса в $z = \frac{\pi}{4}$.

Для полюса в $z = 0$ (порядок 1):

$$\text{Residue} \left( f(z), z=0 \right) = \lim{z \to 0} \frac{t g z}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{2}} = \frac{t g (0)}{\left(0-\frac{\pi}{4}\right)^{2}} = 0.$$

Для полюса в $z = \frac{\pi}{4}$ (порядок 2):

Нам нужно найти первую производную функции $g(z)$ в точке $z = \frac{\pi}{4}$:

$$\text{Residue} \left( f(z), z=\frac{\pi}{4} \right) = \lim_{z \to \frac{\pi}{4}} \frac{d}{dz} \left( (z - \frac{\pi}{4})^2 f(z) \right).$$

Вычислим:

$$(z - \frac{\pi}{4})^2 f(z) = \frac{t g z}{z}.$$

Теперь найдем производную:

$$\frac{d}{dz} \left( t g z \right) = t g + t g z.$$

Подставим $z = \frac{\pi}{4}$:

$$\text{Residue} = t g \left( \frac{\pi}{4} \right) + t g \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \frac{\pi}{4}.$$

Теперь мы можем подставить найденные остатки в интегральную формулу Коши:

$$\int_{L} f(z) \, dz = 2 \pi i \left( 0 + \text{Residue} \left( f(z), z=\frac{\pi}{4} \right) \right).$$

Таким образом, окончательный ответ будет:

$$\int_{L} \frac{t g z}{z\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{2}} d z = 2 \pi i \left( t g \left( \frac{\pi}{4} \right) + t g \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \frac{\pi}{4} \right).$$