Разбор задачи

a) б)

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Условие:

a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{\ln \left(1-\operatorname{arctg}^{2} x\right)}$ б) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\sqrt[5]{1+10 \arcsin ^{2} x}-1\right)}{\operatorname{arctg} 2 x \cdot\left(e^{\sin 5 x}-1\right)}$

Решение:

Рассмотрим каждую часть подробно, пользуясь разложениями в эквивалентные бесконечно малые.

──────────────────────────────
Часть a)
Нужно вычислить предел
L = limₓ→0 [ln(1 + x²)] / [ln(1 – (arctg x)²)].

Для числителя: При x → 0
ln(1 + x²) ≈ x² (так как ln(1+u) ~ u для u «малых», здесь u = x²).
Для знаменателя:
Рассмотрим arctg x для малых x:
arctg x ≈ x, тогда (arctg x)² ≈ x².
Также ln(1 – y) ≈ –y при малом y, здесь y = (arctg x)² ≈ x²,
то есть ln(1 – (...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При вычислении предела вида $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ с использованием эквивалентных бесконечно малых, какое из следующих утверждений верно относительно функции $e^{\sin 5x} - 1$ при $x \to 0$?

$e^{\sin 5x} - 1 \sim 5x$