a) Пусть Как следует подобрать коэффициенты и , чтобы функция была непрерывной и дифференцируемой в точке ? ) Пусть где функция дифференцируема слева при . При каком выборе коэффициентов и функция будет непрерывной и дифференцируемой в точке ?

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

a) Пусть Как следует подобрать коэффициенты и , чтобы функция была непрерывной и дифференцируемой в точке ? ) Пусть где функция дифференцируема слева при . При каком выборе коэффициентов и функция будет непрерывной и дифференцируемой в точке ?

Условие:

a) Пусть $ f(x)=\left{

\begin{array}{ll}\nx^{2} & \text { если } x \leqslant x_{0} \\ \na x+b, & \text { если } x>x_{0} . \end{array}

Как следует подобрать коэффициенты $a$ и $b$ , чтобы функция $f(x)$ была непрерывной и дифференцируемой в точке $x=x_{0}$ ?\nb) Пусть $ F(x)=\left{

\begin{array}{ll}\nf(x) & \text { если } x \leqslant x_{0} \\ \na x+b, & \text { если } x>x_{0} . \end{array}

где функция $f(x)$ дифференцируема слева при $x=x_{0}$ . При каком выборе коэффициентов $a$ и $b$ функция $F(x)$ будет непрерывной и дифференцируемой в точке $x_{0}$ ?

Решение:

Рассмотрим каждую часть задачи отдельно.

──────────────────────────────
Часть a)

Задана функция
f(x) = { x², если x ≤ x₀
a·x + b, если x > x₀ }.

Наша цель – подобрать коэффициенты a и b так, чтобы f(x) была непрерывной и дифференцируемой в точке x = x₀.

Непрерывность в точке x₀ требует, чтобы значение функции слева и справа от x₀ совпадало. То есть должно выполняться:
f(x₀) (по определению для x ≤ x₀) = x₀² = предел функции при x → x₀ c правой части = a·x₀ + b.
Получаем первое уравнение:...