Дано скалярное поле . В каких точках пространства имеет место равенство ?

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Дано скалярное поле . В каких точках пространства имеет место равенство ?

Условие:

Дано скалярное поле $u=\ln \frac{1}{\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}$ . В каких точках пространства $O x y z$ имеет место равенство $|\operatorname{grad} u|=1$ ?

Решение:

Исходная функция имеет вид

u(x, y, z) = ln (1 / √((x–a)² + (y–b)² + (z–c)²)).

Мы можем переписать функцию, используя свойство логарифма:

u = – ln √((x–a)² + (y–b)² + (z–c)²) = – (1/2) ln((x–a)² + (y–b)² + (z–c)²).

Однако для вычисления градиента удобнее работать с u = – ln r, где

r = √((x–a)² + (y–b)² + (z–c)²).

Шаг 1. Нахождение градиента

Градиент функции u равен:
grad u = – (1/r) · grad r.<b...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое геометрическое место точек описывает условие, что модуль градиента скалярного поля u = ln(1/r) равен единице, где r — расстояние от фиксированной точки?

Плоскость, проходящая через начало координат.

Сфера единичного радиуса с центром в фиксированной точке.

Прямая линия, проходящая через фиксированную точку.