Дано: u = 3x3-2y2+7z3-x2y25xy-2yz+3x-8z Найти его производное в направлении вектора а=(2,-1,3) в точке (1,-1,2)

Чтобы найти производную функции $u$ в направлении вектора $\mathbf{a} = (2, -1, 3)$ в точке $(1, -1, 2)$, нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти частные...

Функция задана как:

$$u = 3x^3 - 2y^2 + 7z^3 - x^2y^2 + 5xy - 2yz + 3x - 8z$$

Теперь найдем частные производные $u$ по переменным $x$, $y$ и $z$.

1. :

   $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3) - \frac{\partial}{\partial x}(x^2y^2) + \frac{\partial}{\partial x}(5xy) + \frac{\partial}{\partial x}(3x)$$
   $$= 9x^2 - 2xy^2 + 5y + 3$$

2. :

   $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-x^2y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(5xy) - \frac{\partial}{\partial y}(2yz)$$
   $$= -4y - 2x^2y + 5x - 2z$$

3. :

   $$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(7z^3) - \frac{\partial}{\partial z}(2yz) - \frac{\partial}{\partial z}(8z)$$
   $$= 21z^2 - 2y - 8$$

Теперь подставим $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ в найденные частные производные.

1. :

   $$\frac{\partial u}{\partial x}(1, -1, 2) = 9(1)^2 - 2(1)(-1)^2 + 5(-1) + 3 = 9 - 2 - 5 + 3 = 5$$

2. :

   $$\frac{\partial u}{\partial y}(1, -1, 2) = -4(-1) - 2(1)^2(-1) + 5(1) - 2(2) = 4 + 2 + 5 - 4 = 7$$

3. :

   $$\frac{\partial u}{\partial z}(1, -1, 2) = 21(2)^2 - 2(-1) - 8 = 84 + 2 - 8 = 78$$

Градиент функции $u$ в точке $(1, -1, 2)$ будет равен:

$$\nabla u(1, -1, 2) = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (5, 7, 78)$$

Производная функции $u$ в направлении вектора $\mathbf{a}$ вычисляется как скалярное произведение градиента и вектора $\mathbf{a}$:

$$D_{\mathbf{a}} u = \nabla u \cdot \mathbf{a} = (5, 7, 78) \cdot (2, -1, 3)$$

$$= 5 \cdot 2 + 7 \cdot (-1) + 78 \cdot 3 = 10 - 7 + 234 = 237$$

Таким образом, производная функции $u$ в направлении вектора $\mathbf{a}$ в точке $(1, -1, 2)$ равна $237$.