1. Даны точки А (3;0;-2) В (4;2;-2) С (5;-6;3) Д (2;5;-4). Найти: a) координаты векторов АВ и СД. б) 2AB-4СД. в) длину векторов АВ и СД. г) косинус угла между векторами АВ и СД.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

a) Найти координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD} \...

Вектор $\vec{AB}$ можно найти по формуле:

$$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (xA, yA, zA)$$

Подставим координаты точек $A(3, 0, -2)$ и $B(4, 2, -2)$:

$$\vec{AB} = (4 - 3, 2 - 0, -2 - (-2)) = (1, 2, 0)$$

Теперь найдем вектор $\vec{CD}$:

$$\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (xC, yC, zC)$$

Подставим координаты точек $C(5, -6, 3)$ и $D(2, 5, -4)$:

$$\vec{CD} = (2 - 5, 5 - (-6), -4 - 3) = (-3, 11, -7)$$

Таким образом, координаты векторов:

$$\vec{AB} = (1, 2, 0)$$

$$\vec{CD} = (-3, 11, -7)$$

Сначала умножим векторы на соответствующие коэффициенты:

$$2 \cdot \vec{AB} = 2 \cdot (1, 2, 0) = (2, 4, 0)$$

$$4 \cdot \vec{CD} = 4 \cdot (-3, 11, -7) = (-12, 44, -28)$$

Теперь вычтем:

$$2 \cdot \vec{AB} - 4 \cdot \vec{CD} = (2, 4, 0) - (-12, 44, -28) = (2 + 12, 4 - 44, 0 + 28) = (14, -40, 28)$$

Длина вектора $\vec{AB}$ вычисляется по формуле:

$$|\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$$

Длина вектора $\vec{CD}$:

$$|\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 11^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 121 + 49} = \sqrt{179}$$

Косинус угла между векторами можно найти по формуле:

$$\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}$$

Сначала найдем скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$:

$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1)(-3) + (2)(11) + (0)(-7) = -3 + 22 + 0 = 19$$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса:

$$\cos(\theta) = \frac{19}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{179}} = \frac{19}{\sqrt{895}}$$

a) $\vec{AB} = (1, 2, 0)$, $\vec{CD} = (-3, 11, -7)$

b) $2 \cdot \vec{AB} - 4 \cdot \vec{CD} = (14, -40, 28)$

c) Длина $|\vec{AB}| = \sqrt{5}$, длина $|\vec{CD}| = \sqrt{179}$

d) $\cos(\theta) = \frac{19}{\sqrt{895}}$