Для данной функции показать,

Добавлена: 06.06.2026
Обновлена: 06.06.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Для данной функции $f(x, y)$ показать, $

\begin{array}{l} \text { что } \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}: \\ f(x, y)=\sin \left(2 x^{2}-5 y\right) \end{array}

Решение:

1. Нахождение $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$

Сначала найдем частную производную по $y$ , а затем результат продифференцируем по $x$ .

Шаг 1.1: Находим первую частную производную по $y$ : При дифференцировании по $y$ считаем $x$ константой. Используем правило дифференцирования сложной функции:

\frac{\partial f}{\partial y} = \cos(2x^2 - 5y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 - 5y) = \cos(2x^2 - 5y) \cdot (-5) = -5\cos(2x^2 - 5y)

Шаг 1.2: Находим вторую частную производную по $x$ : Теперь дифференцируем полученный результат по $x$ :

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для функции $f(x, y)$, чтобы смешанные частные производные $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ были равны в некоторой области?

Функция $f(x, y)$ должна быть непрерывной в этой области.

Первые частные производные $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ должны быть непрерывными в этой области.

Вторые смешанные частные производные $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ должны быть непрерывными в этой области.