f(x) = 2x ^ 3 - 6x + 4 Для данной функции найдите: 1. Область определения D(f) 2. Производную и критические точки 3. Промежутки монотонности 4. Точки экстремума и экстремумы (значения функции в точка 5. Точки пересечения с осями координат или несколько

Давайте решим задачу по шагам.

1. Область определения D(f)

Функция $f(x) = 2x^3 - 6x + 4$ является многочленом, а многочлены определены для всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа).

---

2. Производная и критические точки

Найдем производную функции $f(x)$:

$
f(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x + 4) = 6x^2 - 6
$

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$
6x^2 - 6 = 0
$

Решим уравнение:

$
6x^2 = 6 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
$

От... Критические точки: $x = -1$ и $x = 1$.

---

Теперь определим знаки производной на промежутках, разделенных критическими точками $x = -1$ и $x = 1$:

• Для $x -1$ (например, $x = -2$):

  $$f(-2) = 6(-2)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 0 \quad (\text{возрастающая})$$

• Для $-1 x 1$ (например, $x = 0$):

  $$f(0) = 6(0)^2 - 6 = -6 0 \quad (\text{убывающая})$$

• Для $x 1$ (например, $x = 2$):

  $$f(2) = 6(2)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 0 \quad (\text{возрастающая})$$

• Функция возрастает на $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.

• Функция убывает на $(-1, 1)$.

---

Теперь найдем значения функции в критических точках:

$$f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 4 = -2 + 6 + 4 = 8$$

$$f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 4 = 2 - 6 + 4 = 0$$

• В точке $x = -1$ максимум: $f(-1) = 8$.

• В точке $x = 1$ минимум: $f(1) = 0$.

• Точка максимума: $(-1, 8)$.

• Точка минимума: $(1, 0)$.

---

• Пересечение с осью $y$ (при $x = 0$):

  $$f(0) = 4 \quad \text{(точка (0, 4))}$$

• Пересечение с осью $x$ (при $f(x) = 0$):

  $$2x^3 - 6x + 4 = 0 \implies x^3 - 3x + 2 = 0$$
  Найдем корни этого уравнения. Пробуем $x = 1$:
  $$1^3 - 3(1) + 2 = 0 \quad \text{(корень)}$$
  Разделим многочлен на $(x - 1)$:
  $$x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2)$$
  Решим $x^2 + x - 2 = 0$:
  $$(x - 1)(x + 2) = 0 \implies x = 1, -2$$

Точки пересечения с осями координат: $(0, 4)$, $(1, 0)$, $(-2, 0)$.

---

График функции можно построить, используя найденные точки и информацию о монотонности. Он будет иметь максимум в точке $(-1, 8)$ и минимум в точке $(1, 0)$.

---

Функция имеет максимум $8$ и минимум $0$. Так как функция убывает от $+\infty$ до $-1$ и затем возрастает от $1$ до $+\infty$, область значений будет:

$E(f) = [0, 8]$.

---

Решим уравнение:

$$2x^3 - 6x + 4 = 3 \implies 2x^3 - 6x + 1 = 0 \implies x^3 - 3x + \frac{1}{2} = 0$$

Используя теорему о промежуточном значении, проверим значения функции в точках:

• $f(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2) + 4 = -16 + 12 + 4 = 0$
• $f(-1) = 8$
• $f(0) = 4$
• $f(1) = 0$

Функция меняет знак между $-2$ и $-1$, а также между $0$ и $1$. Это говорит о том, что у уравнения есть два корня.

Уравнение $f(x) = 3$ имеет 2 корня.