Для функции z=f(x;y) найти: a) полный дифференциал; б) градиент функции z в точке M(x0;y0) ; в) производную функции z=f(x;y)в точке M (x0;y0)по направлению вектора a ⃗={ax;├ ay }┤ z=y2*arctg(3x-y2), M(3;3), a ⃗={-6┤;5/2)

Для функции $z = f(x, y) = y^2 \cdot \arctan(3x - y^2)$ выполним следующие шаги:

a) Полный дифференциал

Полный дифференциал функции $z$ можно найти по формуле:

$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$

Сначала найдем частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$.

1. Частная производная по $x$:

$
\frac{\partial z}{\partial x} = y^2 \cdot \frac{d}{dx} \left( \arctan(3x - y^2) \right) = y^2 \cdot \frac{3}{1 + (3x - y^2)^2}
$

2. Частна...:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{d}{dy} \left( y^2 \cdot \arctan(3x - y^2) \right)$$

Используем правило произведения:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \cdot \arctan(3x - y^2) + y^2 \cdot \frac{d}{dy} \left( \arctan(3x - y^2) \right)$$

$$\frac{d}{dy} \left( \arctan(3x - y^2) \right) = \frac{-2y}{1 + (3x - y^2)^2}$$

Таким образом:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \cdot \arctan(3x - y^2) - \frac{2y^3}{1 + (3x - y^2)^2}$$

Теперь подставим эти производные в формулу полного дифференциала:

$$dz = \left( y^2 \cdot \frac{3}{1 + (3x - y^2)^2} \right) dx + \left( 2y \cdot \arctan(3x - y^2) - \frac{2y^3}{1 + (3x - y^2)^2} \right) dy$$

Градиент функции $z$ обозначается как $\nabla z$ и равен вектору, состоящему из частных производных:

$$\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$$

Теперь подставим $x = 3$ и $y = 3$ в найденные частные производные.

1. :

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 3^2 \cdot \frac{3}{1 + (3 \cdot 3 - 3^2)^2} = 9 \cdot \frac{3}{1 + (9 - 9)^2} = 9 \cdot 3 = 27$$

2. :

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 2 \cdot 3 \cdot \arctan(3 \cdot 3 - 3^2) - \frac{2 \cdot 3^3}{1 + (3 \cdot 3 - 3^2)^2} = 6 \cdot 0 - \frac{54}{1 + 0} = -54$$

Таким образом, градиент в точке $M(3, 3)$:

$$\nabla z(3, 3) = (27, -54)$$

Производная функции по направлению вектора $\vec{a}$ вычисляется по формуле:

$$D_{\vec{a}} z = \nabla z \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

Сначала найдем длину вектора $\vec{a}$:

$$|\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{144}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2}$$

Теперь нормализуем вектор $\vec{a}$:

$$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left( \frac{-6}{\frac{13}{2}}, \frac{\frac{5}{2}}{\frac{13}{2}} \right) = \left( \frac{-12}{13}, \frac{5}{13} \right)$$

Теперь вычислим скалярное произведение:

$$D_{\vec{a}} z = \nabla z(3, 3) \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (27, -54) \cdot \left( \frac{-12}{13}, \frac{5}{13} \right)$$

$$D_{\vec{a}} z = 27 \cdot \frac{-12}{13} + (-54) \cdot \frac{5}{13} = \frac{-324}{13} - \frac{270}{13} = \frac{-594}{13}$$

Таким образом, производная функции $z$ в точке $M(3, 3)$ по направлению вектора $\vec{a}$ равна:

$$D_{\vec{a}} z = \frac{-594}{13}$$

a) Полный дифференциал:

$$dz = \left( y^2 \cdot \frac{3}{1 + (3x - y^2)^2} \right) dx + \left( 2y \cdot \arctan(3x - y^2) - \frac{2y^3}{1 + (3x - y^2)^2} \right) dy$$

б) Градиент в точке $M(3, 3)$:

$$\nabla z(3, 3) = (27, -54)$$

в) Производная по направлению вектора $\vec{a}$:

$$D_{\vec{a}} z = \frac{-594}{13}$$