1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Для скалярного поля найти в точке : а) скорость изменен...
Разбор задачи

Для скалярного поля найти в точке : а) скорость изменения поля в направлении вектора ; ) скорость изменения поля в направлении радиуса-вектора данной точки; ) направление и величину наибольшей скорости возрастания поля.

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #{
Для скалярного поля найти в точке : а) скорость изменения поля в направлении вектора ; ) скорость изменения поля в направлении радиуса-вектора данной точки; ) направление и величину наибольшей скорости возрастания поля.

Условие:

Для скалярного поля U(x,y,z)=ln⁡(x+y2+z2)U(x, y, z)=\ln \left(x+\sqrt{y^{2}+z^{2}}\right) найти в точке M0(1;−3;4)M_{0}(1 ;-3 ; 4): а) скорость изменения поля в направлении вектора {(−2;−1;1}\{(-2 ;-1 ; 1\};\nb) скорость изменения поля в направлении радиуса-вектора +r{ }^{+}r данной точки;\nc) направление и величину наибольшей скорости возрастания поля.

Решение:

Дано:
Скалярное поле

U(x,y,z)=ln⁡(x+y2+z2) U(x, y, z) = \ln\left(x + \sqrt{y^2 + z^2}\right)

Точка M0(1;−3;4)M_0(1; -3; 4).

1. Градиент поля в точке M0M_0

Градиент:

∇U=(∂U∂x,∂U∂y,∂U∂z) \nabla U = \left( \frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z} \right)

Производная по xx:

∂U∂x=1x+y2+z2⋅1 \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{x + \sqrt{y^2 + z^2}} \cdot 1

Производная по yy:

∂U∂y=1x+y2+z2⋅yy2+z2 \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{1}{x + \sqrt{y^2 + z^2}} \cdot \frac{y}{\sqrt{y^2 + z^2}}

Производная по zz:

∂U∂z=1x+y2+z2⋅zy2+z2 \frac{\partial U}{\partial z} = \frac{1}{x + \sqrt{y^2 + z^2}} \cdot \frac{z}{\sqrt{y^2 + z^2}}

Вычислим в точке M0(1,−3,4)M_0(1, -3, 4):

y2+z2=(−3)2+42=9+16=25=5 \sqrt{y^2 + z^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Как определяется направление наибольшей скорости возрастания скалярного поля в заданной точке?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я