Разбор задачи

Длины ДУГ Кривых

Условие:

Длины ДУГ Кривых $\left{

\begin{array}{l}x=2(2 \cos t-\cos 2 t) \ y=2(2 \sin t-\sin 2 t)\end{array}

Чтобы вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически, мы используем формулу для длины дуги:

L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt

В нашем случае, параметры (x) и (y) заданы как:

x = 2(2 \cos t - \cos 2t)

y = 2(2 \sin t - \sin 2t)

где (t) изменяется от (0) до (\frac{\pi}{3}).

Сначала найдем производную (dx/dt):

\frac{dx}{dt} = 2 \left( -2 \sin t + 2 \sin 2t \right)

Используем формулу производной для (\cos 2t):

\frac{d}{dt}(\cos 2t) = -2 \sin 2t

Таким образом:

\frac{dx}{dt} = 2(-2 \sin t + 2 \sin 2t) = -4 \sin t + 4 \sin 2t

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какая формула используется для вычисления длины дуги параметрически заданной кривой?

L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx

L = \int_{a}^{b} \left( \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} \right) \, dt