Разбор задачи

Доказать, что если , то

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Доказать, что если $z=\frac{x y}{x-y}$ , то

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\frac{2}{x-y}

Решение:

Нам дано
z = (x·y)/(x – y).
Наша цель – доказать, что

∂²z/∂x² + 2∂²z/(∂x∂y) + ∂²z/∂y² = 2/(x – y).

Ниже приведём подробное пошаговое доказательство.

────────────────────────────

Вычислим первые частные производные

1.1. Производная по x
z = (xy)/(x – y). Применим правило частного:
∂z/∂x = [(∂(xy)/∂x)·(x–y) – (xy)·∂(x–y)/∂x] / (x–y)².
Заметим, что
∂(xy)/∂x = y
∂(x–y)/∂x =

Таким образом,
∂z/∂x = [y(x–y) – xy] /...