Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие точками минимума a) f(x)=5+12 x-x3 б) f(x)=9+8 x2-x4 в) f(x)=2 x3+3 x2-4 - дома г) f(x)=1 / 2 x4-x2 - дома

Чтобы найти критические точки функции и определить, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
3. Использовать второй производной тест или тест ...

$$f(x) = 12 - 3x^2$$

Приравняем производную к нулю:

$$12 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$

Критические точки: $x = 2$ и $x = -2$.

Найдем вторую производную:

$$f(x) = -6x$$

Теперь подставим критические точки:

• Для $x = 2$:
  $$f(2) = -6 \cdot 2 = -12 0 \quad (\text{максимум})$$
• Для $x = -2$:
  $$f(-2) = -6 \cdot (-2) = 12 0 \quad (\text{минимум})$$

: Точка максимума в $x = 2$, точка минимума в $x = -2$.

---

$$f(x) = 16x - 4x^3$$

Приравняем производную к нулю:

$$16x - 4x^3 = 0 \implies 4x(4 - x^2) = 0$$

Критические точки: $x = 0$, $x = 2$, $x = -2$.

Найдем вторую производную:

$$f(x) = 16 - 12x^2$$

Теперь подставим критические точки:

• Для $x = 0$:
  $$f(0) = 16 0 \quad (\text{минимум})$$
• Для $x = 2$:
  $$f(2) = 16 - 12 \cdot 4 = -32 0 \quad (\text{максимум})$$
• Для $x = -2$:
  $$f(-2) = 16 - 12 \cdot 4 = -32 0 \quad (\text{максимум})$$

: Точка минимума в $x = 0$, точки максимума в $x = 2$ и $x = -2$.

---

$$f(x) = 6x^2 + 6x$$

Приравняем производную к нулю:

$$6x(x + 1) = 0$$

Критические точки: $x = 0$ и $x = -1$.

Найдем вторую производную:

$$f(x) = 12x + 6$$

Теперь подставим критические точки:

• Для $x = 0$:
  $$f(0) = 6 0 \quad (\text{минимум})$$
• Для $x = -1$:
  $$f(-1) = 12 \cdot (-1) + 6 = -6 0 \quad (\text{максимум})$$

: Точка минимума в $x = 0$, точка максимума в $x = -1$.

---

$$f(x) = 2x^3 - 2x$$

Приравняем производную к нулю:

$$2x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0, x = 1, x = -1$$

Критические точки: $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$.

Найдем вторую производную:

$$f(x) = 6x^2 - 2$$

Теперь подставим критические точки:

• Для $x = 0$:
  $$f(0) = -2 0 \quad (\text{максимум})$$
• Для $x = 1$:
  $$f(1) = 6 \cdot 1^2 - 2 = 4 0 \quad (\text{минимум})$$
• Для $x = -1$:
  $$f(-1) = 6 \cdot 1 - 2 = 4 0 \quad (\text{минимум})$$

: Точка максимума в $x = 0$, точки минимума в $x = 1$ и $x = -1$.

---

Теперь у нас есть ответы для всех функций.