Условие:
доказать что любой линейный оператор А на унитарном пространстве однозначно представим в виде F=B+iC где B и C самосопряженные операторы
Решение:
Рассмотрим произвольный линейный оператор A на унитарном пространстве. Необходимо доказать, что его можно единственным образом представить в виде A = B + iC, где операторы B и C являются самосопряжёнными.
Шаг 1. Построим операторы B и C по формулам
B = (A + A*)/2
C = (A – A*)/(2i)
Здесь A* – сопряжённый (адъюнктный) оператор к A, а i – мнимая единица.
Шаг 2. Докажем, что оператор B самосопряжённый. Вычислим его сопряжённый:
B* = ((A + A*)/2)* = (A* + (A*))/2 = (A + A)/2 = B
Таким образом, B = B*, что означает, что B самосо...