Доказать формулу , где - замкнутая поверхность, ограничивающая объем -внешняя нормаль к ней в точке -радиус-вектор, соединяющий точку с точкой , и , если поверхность окружает точку ( ).

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Уравнения математической физики

Доказать формулу , где - замкнутая поверхность, ограничивающая объем -внешняя нормаль к ней в точке -радиус-вектор, соединяющий точку с точкой , и , если поверхность окружает точку ( ).

Условие:

Доказать формулу $\iiint_{V} \frac{d \xi d \eta d \zeta}{r}=\frac{1}{2} \iint_{S} \cos (\vec{r}, \vec{n}) d s$ , где $S$ - замкнутая поверхность, ограничивающая объем $V, n$ -внешняя нормаль к ней в точке $(\xi, \eta, \zeta), r$ -радиус-вектор, соединяющий точку $(x, y, z)$ с точкой $(\xi, \eta, \zeta)$ , и $r=\sqrt{(\xi-x)^{2}+(\eta-y)^{2}+(\zeta-z)^{2}}$ , если поверхность $S$ окружает точку ( $x, y, z$ ).

Решение:

Ниже приведено подробное доказательство формулы

∭₍V₎ (dξ dη dζ)/r = (1/2) ∬₍S₎ cos(𝑟, n) ds,

где S – замкнутая поверхность, ограничивающая объём V, внутри которого находится точка (x, y, z), 𝑟 – радиус-вектор, соединяющий эту точку с точкой (ξ, η, ζ) на S, n – единичный вектор, направленный наружу (внешняя нормаль к S) в точке (ξ, η, ζ), а r = |(ξ – x, η – y, ζ – z)|.

Мы покажем, что обе части равны, если записать интегралы в «сферических» координатах, центра которых выбираем в точке (x, y, z).

─────────────────────────────

Пе...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При преобразовании поверхностного интеграла в сферические координаты, как связан элемент площади поверхности $ds$ с элементом телесного угла $d\Omega$?

$ds = R^2 \cos(\alpha) d\Omega$