1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. В полярных координатах решить внутреннюю задачу Дирихле...
Разбор задачи

В полярных координатах решить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круговом секторе \( 0

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Дифференциальные уравнения
В полярных координатах решить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круговом секторе \( 0

Условие:

В полярных координатах (ρ,φ)(\rho, \varphi) решить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа Δu=0\Delta u=0 в круговом секторе 0<ρ<1,0<φ<π20<\rho<1,0<\varphi<\frac{\pi}{2} при следующих граничных условиях: u(1,φ)=2sin⁡1φ;u(ρ,0)=uφ(ρ,π2)=0u(1, \varphi)=2 \sin 1 \varphi ; u(\rho, 0)=u_{\varphi}\left(\rho, \frac{\pi}{2}\right)=0

Решение:

Для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круговом секторе в полярных координатах, начнем с уравнения Лапласа:

Δu=0 \Delta u = 0

В полярных координатах уравнение Лапласа принимает вид:

∂2u∂ρ2+1ρ∂u∂ρ+1ρ2∂2u∂φ2=0 \frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} = 0

Мы ищем решение в виде разложения по отдельным переменным:

u(ρ,φ)=R(ρ)Φ(φ) u(\rho, \varphi) = R(\rho) \Phi(\varphi)

Подставим это в уравнение Лапласа:

R′′(ρ)Φ(φ)+1ρR′(ρ)Φ(φ)+1ρ2R(ρ)Φ′′(φ)=0 R''(\rho) \Phi(\varphi) + \frac{1}{\rho} R'(\rho) \Phi(\varphi) + \frac{1}{\rho^2} R(\rho) \Phi''(\varphi) = 0

Разделим переменные:

R′′(ρ)+1ρR′(ρ)R(ρ)+Φ′′(φ)Φ(φ)=0 \frac{R''(\rho) + \frac{1}{\rho} R'(\rho)}{R(\rho)} + \frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} = 0

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для решения уравнения Лапласа в полярных координатах при заданных граничных условиях?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я