Доказать утверждение: пусть - метрическое пространство, - произвольное множество; тогда любая точка по отношению к является либо внутренней, либо внешней, либо граничной.

Рассмотрим произвольную точку x ∈ M и воспользуемся определениями внутренних, внешних и граничных точек относительно множества A.

1. Определим:
   – Точка x называется внутренней точкой множества A, если существует такое ε > 0, что ε-окрестность B(x, ε) целиком содержится в A.
   – Точка x называется внешней точкой множества A, если существует такое ε > 0, что ε-окрестность B(x, ε) целиком содержится в дополнении M \ A.
   – Точка x называется граничной точкой множества A, если для любого ε > 0 ε-окрестность B(x, ε) пересекается как с A, так и с допо...