Докажите, что произведение двух бесконечно малых при функций, определенных в некоторой окрестности точки , является бесконечно малой при функцией.

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Докажите, что произведение двух бесконечно малых при функций, определенных в некоторой окрестности точки , является бесконечно малой при функцией.

Условие:

Докажите, что произведение двух бесконечно малых при $x \rightarrow a$ функций, определенных в некоторой окрестности точки $x=a$ , является бесконечно малой при $x \rightarrow a$ функцией.

Решение:

Чтобы доказать, что произведение двух бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией, начнем с определения бесконечно малой функции.

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две функции, которые являются бесконечно малыми при $x \rightarrow a$ . Это означает, что:

Для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta_1 > 0$ , такое что, если $0 < |x - a| < \delta_1$ , то $|f(x)| < \epsilon$ .
Для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta_2 > 0$ , такое что, если $0 < |x - a| < \delta_2$ , то $|g(x)| < \epsilon$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство бесконечно малых функций используется для доказательства того, что произведение двух бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией?

Сумма бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию является бесконечно малой функцией.

Частное двух бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.