Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной.

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Условие:

Докажите, что значение выражения

\left(\frac{x^{\frac{1}{5}}-x}{1-x^{\frac{4}{5}}}+1\right): \frac{a^{\frac{2}{5}}-1}{x^{\frac{1}{5}}-1}

не зависит от значения входящей в него переменной.

Решение:

Докажем, что значение данного выражения не зависит от $x$ .

Выражение:

\left(\frac{x^{\frac{1}{5}}-x}{1-x^{\frac{4}{5}}}+1\right): \frac{a^{\frac{2}{5}}-1}{x^{\frac{1}{5}}-1}

Шаг 1: Упростим первую дробь

\frac{x^{\frac{1}{5}} - x}{1 - x^{\frac{4}{5}}}

Вынесем $x^{\frac{1}{5}}$ из числителя:

x^{\frac{1}{5}} - x = x^{\frac{1}{5}} \left( 1 - x^{\frac{4}{5}} \right)

Тогда дробь:

\frac{x^{\frac{1}{5}} \left( 1 - x^{\frac{4}{5}} \right)}{1 - x^{\frac{4}{5}}}

При условии $1 - x^{\frac{4}{5}} \neq 0$ (т.е. $x \neq 1$ ) получаем:

\frac{x^{\frac{1}{5}} - x}{1 - x^{\frac{4}{5}}} = x^{\frac{1}{5}}

...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой алгебраический приём является ключевым для упрощения первой дроби в выражении $\left(\frac{x^{\frac{1}{5}}-x}{1-x^{\frac{4}{5}}}+1\right): \frac{a^{\frac{2}{5}}-1}{x^{\frac{1}{5}}-1}$?

Приведение дробей к общему знаменателю

Вынесение общего множителя в числителе и сокращение дроби

Использование формулы разности квадратов