Find an orthonormal base in the linear hull of , and with respect to the dot product

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Find an orthonormal base in the linear hull of , and with respect to the dot product

Условие:

Find an orthonormal base in the linear hull of $e_{1}(x)=1, e_{2}(x)= x, e_{3}(x)=x^{2}$ , and $e_{4}(x)=x^{3}$ with respect to the dot product

(f, g)=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x

Решение:

Чтобы найти ортонормированный базис в линейной оболочке функций $e_{1}(x)=1, e_{2}(x)= x, e_{3}(x)=x^{2}$ и $e_{4}(x)=x^{3}$ с использованием скалярного произведения, определенного как

(f, g)=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x,

мы будем использовать метод Грамма-Шмидта.

Определим функции и вычислим их скалярные произведения.

Начнем с функций $e_1, e_2, e_3$ и $e_4$ :
- $e_1(x) = 1$
- $e_2(x) = x$
- $e_3(x) = x^2$
- $e_4(x) = x^3$
Вычислим скалярные произведения.
- $(e_1, e_1) = \int_{-1}^{1} 1 \cdot 1 \, dx = 2$
- $(e_1, e_2) = \int_{-1}^{1} 1 \cdot x \, dx = 0$ ...