Функция из множества в множество такова, что для выполняется (здесь обозначает полный прообраз множества). Следует ли из этого равенство ? Приведите доказательство или контрпример.

Добавлена: 30.04.2026
Обновлена: 30.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория множеств и логика

Функция из множества в множество такова, что для выполняется (здесь обозначает полный прообраз множества). Следует ли из этого равенство ? Приведите доказательство или контрпример.

Условие:

Функция $f$ из множества $X$ в множество $Y$ такова, что для $A \subseteq X, B \subseteq X$ выполняется

f^{-1}[f[A]]=f^{-1}[f[B]]

(здесь

f^{-1}

обозначает полный прообраз множества). Следует ли из этого равенство

A=B

? Приведите доказательство или контрпример.

Решение:

Рассмотрим функцию f: X → Y, которая не обязательно инъективна. Заметим, что f–1[f[A]] представляет собой объединение всех элементов X, которые имеют то же значение f, что и какой-либо элемент из A. Иными словами, f–1[f[A]] содержит все "слои" (фибры) функции f...