Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую оценку: .

Чтобы вычислить приближенно $1.01^{\frac{3}{2}}$ с использованием формулы Тейлора второго порядка, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Дано

• Нам нужно вычислить $1.01^{\frac{3}{2}}$.
• Мы будем использовать разложение в ряд Тейлора для функции $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$.

Шаг 2: Найти

• Приближенное значение $1.01^{\frac{3}{2}}$.
• Оценка погрешности $|r| \leq 625 \cdot 10^{-10}$.

Шаг 3: Решение

1. Находим производные функции $f(x)$:

   Первая производная:

   $$\nf'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$$

   Вторая производная:

   $$\nf''(x) = \frac{3}{4} x^{-\frac{1}{2}}$$