Задание 1. Исследовать и построить графики функций с помощью производной первого порядка. y=(x2(x-4)2)/16

Для исследования функции $y = \frac{x^2 (x-4)^2}{16}$ с помощью производной первого порядка, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Н...

Сначала найдем производную функции $y$. Для этого воспользуемся правилом производной произведения и правилом дифференцирования.

Функция может быть переписана как:

$$y = \frac{1}{16} x^2 (x-4)^2$$

Теперь применим правило производной произведения:

$$y = \frac{1}{16} \left( (x^2) (x-4)^2 + x^2 ((x-4)^2) \right)$$

Где:

• $(x^2) = 2x$
• $((x-4)^2) = 2(x-4)$

Теперь подставим эти производные в формулу:

$$y = \frac{1}{16} \left( 2x (x-4)^2 + x^2 \cdot 2(x-4) \right)$$

$$= \frac{1}{16} \left( 2x (x-4)^2 + 2x^2 (x-4) \right)$$

$$= \frac{2}{16} \left( x (x-4)^2 + x^2 (x-4) \right)$$

$$= \frac{1}{8} \left( x (x-4)^2 + x^2 (x-4) \right)$$

Теперь упростим:

$$= \frac{1}{8} x (x-4) \left( (x-4) + x \right)$$

$$= \frac{1}{8} x (x-4)(2x - 4)$$

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Найдем, когда $y = 0$:

$$\frac{1}{8} x (x-4)(2x - 4) = 0$$

Решим уравнение:

1. $x = 0$
2. $x - 4 = 0$ → $x = 4$
3. $2x - 4 = 0$ → $x = 2$

Таким образом, критические точки: $x = 0, 2, 4$.

Теперь определим знаки производной на интервалах, которые определяются критическими точками:

• Интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 4)$, $(4, +\infty)$

1. : выберем $x = -1$

   $$y(-1) = \frac{1}{8} (-1)(-5)(-6) 0$$
   (убывание)

2. : выберем $x = 1$

   $$y(1) = \frac{1}{8} (1)(-3)(-2) 0$$
   (возрастание)

3. : выберем $x = 3$

   $$y(3) = \frac{1}{8} (3)(-1)(2) 0$$
   (убывание)

4. : выберем $x = 5$

   $$y(5) = \frac{1}{8} (5)(1)(6) 0$$
   (возрастание)

Теперь мы можем построить график функции, основываясь на полученных данных:

• Функция убывает на интервале $(-\infty, 0)$

• Функция возрастает на интервале $(0, 2)$

• Функция убывает на интервале $(2, 4)$

• Функция возрастает на интервале $(4, +\infty)$

• В точке $x = 0$ - минимум (переход от убывания к возрастанию)

• В точке $x = 2$ - максимум (переход от возрастания к убыванию)

• В точке $x = 4$ - минимум (переход от убывания к возрастанию)

Таким образом, мы исследовали функцию $y = \frac{x^2 (x-4)^2}{16}$ и нашли критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также точки минимума и максимума. Теперь можно построить график функции, учитывая все полученные данные.