Исследовать на строгий экстремум каждую непрерывно дифференцируемую функцию , заданную неявно уравнением: ;

Добавлена: 30.04.2026
Обновлена: 30.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Исследовать на строгий экстремум каждую непрерывно дифференцируемую функцию , заданную неявно уравнением: ;

Условие:

Исследовать на строгий экстремум каждую непрерывно дифференцируемую функцию $u=u(x ; y)$ , заданную неявно уравнением: $2 x^{2}+2 y^{2}+u^{2}+8 y u-u+8=0$ ;

Решение:

Найдем строгое экстремум для функции u = u(x, y), заданной неявно уравнением

2x² + 2y² + u² + 8yu – u + 8 =
0.

Чтобы исследовать точку экстремума, будем считать, что у (при наличии необходимых условий теоремы о неявной функции) можно выразить как функцию от x и y. Далее воспользуемся фактом, что в точке экстремума функции u(x, y) её частные производные по x и y равны нулю.

Шаг 1. Вычислим частные производные функции F(x, y, u) = 2x² + 2y² + u² + 8yu – u + 8:

Fₓ = ∂F/∂x = 4x;
F_y = ∂F/∂y = 4y + 8u;
F_u = ∂F/∂u = 2u...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При исследовании неявно заданной функции $ u=u(x ; y) $ на экстремум, какие условия необходимо наложить на частные производные вспомогательной функции $ F(x, y, u) $ для нахождения критических точек?

Для нахождения критических точек необходимо, чтобы $F_x = 0$ , $F_y = 0$ и $F_u = 0$ .