Мы дано систему с параметром μ:

  (1) dx/dt = 4·t·y²,   x(0)=0,
  (2) dy/dt = 1 + 5μ·x,   y(0)=0.

Наша цель – найти производную ∂x/∂μ при μ = 0, то есть вычислить
  u(t) = (∂x(t, μ)/∂μ)|{μ=0}.

Ниже приведём подробное пошаговое рассуждение.

─────────────────────────────
Шаг 1. Найдём базовое решение при μ =
0.

Подставляем μ = 0 в систему:

  (1') dx/dt = 4·t·y²,   x(0)=0,
  (2') dy/dt = 1,       y(0)=0.

Решим (2'):
  dy/dt = 1 ⇒  y(t) = ∫₀ᵗ 1 ds = t.
Таким образом, y(t, 0) = t.

Теперь решим (1'):
  dx/dt = 4·t·(t)² = 4t³.
Интегрируя, получим:
  x(t) = ∫₀ᵗ 4s³ ds = 4·(s⁴/4)|₀ᵗ = t⁴.
Следовательно, x(t,0) = t⁴.

─────────────────────────────
Шаг 2. Введём функции чувствительности параметру.

Обозначим:
  u(t) = (∂x(t, μ)/∂μ)|...