На области допустимых значений и выражения и равны одному и тому же числу. Найти это число.

Добавлена: 30.04.2026
Обновлена: 30.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

На области допустимых значений и выражения и равны одному и тому же числу. Найти это число.

Условие:

На области допустимых значений $x$ и $y$ выражения $\log _{x^{2} y^{4}}\left(\sqrt{x^{1 / 6} y}\right)$ и $\log _{x^{6} y^{4}}\left(\sqrt[12]{\frac{x^{3}}{y^{2}}}\right)$ равны одному и тому же числу. Найти это число.

Решение:

Найдем значение выражений, если известно, что

log₍ₓ²·y⁴₎(√(x^(1/6) · y)) = log₍ₓ⁶·y⁴₎(√12).

Мы будем считать, что x > 0 и y > 0 (так базис логарифма и аргументы будут положительными, а также основания ≠ 1).

Шаг 1. Преобразуем первое выражение

I = log₍ₓ²·y⁴₎(√(x^(1/6)· y)).

Сначала запишем выражение под логарифмом в степенной форме. Заметим, что корень квадратный означает степень 1/2. Тогда

√(x^(1/6) · y) = (x^(1/6) · y)^(1/2) = x^(1/12) · y^(1/2).

Также запишем основание логарифма...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод преобразования логарифмических выражений является наиболее универсальным для приведения их к виду, удобному для сравнения или решения уравнений, особенно когда основания и аргументы логарифмов содержат переменные в степенях?

Использование формулы перехода к новому основанию, например, натуральному логарифму (ln), чтобы выразить все логарифмы через отношения логарифмов от простых переменных.

Приведение всех логарифмов к одному и тому же основанию, равному 10, с помощью формулы изменения основания.

Применение свойств логарифмов для объединения всех членов в один логарифм, чтобы затем приравнять аргументы.