Найдите: а) ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора ν при проекции на подпространство U; б) расстояние между вектором ν и подпространством U; в) угол между вектором ν и подпространством U. =(-1,3-3,5) U (x1+2x2+x3+x4=0;

Добавлена: 29.08.2026
Обновлена: 29.08.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Условие:

Найдите:
а) ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора ν при проекции на подпространство U;
б) расстояние между вектором ν и подпространством U;
в) угол между вектором ν и подпространством U.\nv=(-1,3-3,5) U (x_1+2x_2+x_3+x_4=0; 〖5x〗_1-2x_2+x_3-9x_4=0)

Решение:

Для решения задачи нам необходимо работать в пространстве $\mathbb{R}^4$ .

Дано:

Вектор $\vec{v} = (-1, 3, -3, 5)$
Подпространство $U$ задано системой линейных уравнений:
1. $x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0$
2. $5x_1 - 2x_2 + x_3 - 9x_4 = 0$
  
  ---

Решение:

#### 1. Найдем базис ортогонального дополнения $U^\perp$
Подпространство $U$ — это множество векторов, ортогональных векторам нормалей уравнений, задающих $U$. Пусть $\vec{n}_1 = (1, 2, 1, 1)$ и $\vec{n}_2 = (5, -2, 1, -9)$. Тогда $U^\perp = \text{span}\{\vec{n}_1, \vec{n}_2\}$...