Найдите канонический и нормальный вид квадратичной формы и соответствующую замену координат. По каноническому (нормальному) виду определите сигнатуру квадратичной формы и ее знакоопределенность. (x)=x1 x2+x2 x3+x3 x4+x4 x1.

Добавлена: 30.08.2026
Обновлена: 30.08.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Условие:

Найдите канонический и нормальный вид квадратичной формы и соответствующую замену координат.
По каноническому (нормальному) виду определите сигнатуру квадратичной формы и ее знакоопределенность.\nq(x)=x_1 x_2+x_2 x_3+x_3 x_4+x_4 x_1.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим квадратичную форму:

q(x) = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_1

Дано

Квадратичная форма от четырех переменных:

q(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_1

а) Метод Лагранжа (выделение полных квадратов)

Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты:

q = x_1(x_2 + x_4) + x_2x_3 + x_3x_4

Используем формулу $ab = \frac{1}{4}((a+b)^2 - (a-b)^2)$ . Пусть $a = x_1$ , $b = x_2 + x_4$ :

q = \frac{1}{4}(x_1 + x_2 + x_4)^2 - \frac{1}{4}(x_1 - x_2 - x_4)^2 + x_2x_3 + x_3x_4

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из методов приведения квадратичной формы к каноническому виду не всегда применим напрямую, если некоторые угловые миноры матрицы квадратичной формы равны нулю?

Метод Лагранжа (выделение полных квадратов)

Метод Якоби

Метод ортогональных преобразований