Найдите такие числа и , что при для и . В качестве ответа приведите разделенную пробелами четверку чисел (округленных до третьего знака после запятой) в следующем порядке: сначала си и для , затем с и для .

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Асимптотические методы

Найдите такие числа и , что при для и . В качестве ответа приведите разделенную пробелами четверку чисел (округленных до третьего знака после запятой) в следующем порядке: сначала си и для , затем с и для .

Условие:

Найдите такие числа $c$ и $n$ , что $\frac{x^{3} \operatorname{arctg} x}{x^{4}+\sin x+2} \sim c x^{n}$ при $x \rightarrow x_{0}$ для $x_{0}=0$ и $x_{0}=+\infty$ . В качестве ответа приведите разделенную пробелами четверку чисел (округленных до третьего знака после запятой) в следующем порядке: сначала си и для $x_{0}=0$ , затем с и $n$ для $x_{0}=+\infty$ .

Решение:

Будем искать асимптотику функции

f(x) = (x³·arctg x)/(x⁴ + sin x + 2)

при двух случаях: x → 0 и x → +∞. Найдём коэффициент c и степень n такие, что
f(x) ~ c · xⁿ.

──────────────────────────────

Случай x → 0:

● Разложим числитель:
arctg x = x – x³/3 + O(x⁵).
Следовательно, x³·arctg x = x³·(x – x³/3 + …) = x⁴ – (x⁶)/3 + O(x⁸).

● Разложим знаменатель:
...