![Найдите точную нижнюю границу множества тех значений параметра ( z ), при которых интеграл сходится: [ int_{1}^{infty} rac{left(5.5 x^{4.5}+9.0 x^{6.5}+4.5 x^{12.5} ight)^{4.5}}{left(11.0 x^{3.5}+12.0 x^{6.5}+3.0 x^{z+9.5} ight)^{3.0}} d x ] Формат](/public/images/library/external/library-detail-hero-book.png)
Найдите точную нижнюю границу множества тех значений параметра $z$, при которых интеграл сходится:
$
\int_{1}^{\infty} \frac{\left(5.5 x^{4.5}+9.0 x^{6.5}+4.5 x^{12.5}\right)^{4.5}}{\left(11.0 x^{3.5}+12.0 x^{6.5}+3.0 x^{z+9.5}\right)^{3.0}} d x
$
Формат ответа: целое число или десятичная дробь (с точностью до сотых)
Мы исследуем поведение подынтегральной функции при x → ∞, поскольку от поведения на бесконечном интервале зависит сходимость интеграла.
Шаг 1. Определим асимптотику числителя.
Внутри скобок числителя имеем сумму 5.5·x^(4.5) + 9.0·x^(6.5) + 4.5·x^(12.5).
При x → ∞ доминирующим оказывается член с наибольшей степенью, то есть 4.5·x^(12.5). Возводя всю сумму в степень 4.5, получаем: (4.5·x^(12.5))^(4.5) = 4.5^(4.5) · x^(12.5·4.5) = 4.5^(4.5) · x^(56.25).
Таким образом, числитель ~ const · x^(56.25).
Шаг 2. Определим асимптотику знаменателя.
Внутри скобок знаменателя: 11.0·x^(3.5) + 12....