Найдите три первых ненулевых члена ряда Тейлора, построенного для функции , в окрестности точки . Укажите область, в которой данный ряд Тейлора сходится к указанной функции.

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций комплексного переменного

Найдите три первых ненулевых члена ряда Тейлора, построенного для функции , в окрестности точки . Укажите область, в которой данный ряд Тейлора сходится к указанной функции.

Условие:

Найдите три первых ненулевых члена ряда Тейлора, построенного для функции $f(z)=\left(\cos \left(\frac{1}{7} z^{4}\right)\right)^{3}$ , в окрестности точки $z=0$ . Укажите область, в которой данный ряд Тейлора сходится к указанной функции.

Решение:

Мы хотим разложить функцию

f(z) = [cos(1/7 · z⁴)]³

в ряд Тейлора около точки z = 0 и найти три первых ненулевых члена этого ряда, а также определить область сходимости.

Ниже приведём подробное рассуждение.

─────────────────────────────

Расложим cos(1/7 · z⁴) в степенной ряд по z.

Напомним, что разложение функции cos x в окрестности 0 имеет вид

cos x = 1 – x²/2! + x⁴/4! – …

Подставляем x = z⁴/7:

cos(1/7 · z⁴) = 1 – (1/7 · z⁴)²/2! + (1/7 · z⁴)⁴/4! – …
= 1...