Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Добавлена: 15.04.2026
Обновлена: 15.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Условие:

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

a\left(x+\frac{4}{x}\right)^{2}+3\left(x+\frac{4}{x}\right)-36 a+18=0

имеет ровно два различных корня.

Решение:

Для того чтобы решить задачу, начнем с анализа уравнения:

\na\left(x+\frac{4}{x}\right)^{2}+3\left(x+\frac{4}{x}\right)-36 a+18=0.

Шаг 1: Обозначим $y = x + \frac{4}{x}$ . Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

\nay^2 + 3y - 36a + 18 = 0.

Это квадратное уравнение относительно $y$ .

Шаг 2: Для того чтобы у уравнения было ровно два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант был положительным. Дискриминант $D$ квадратного уравнения $Ay^2 + By + C = 0$ вычисляется по формуле: