Найти частные производные и неявной функции , заданной выражением

Добавлена: 23.05.2026
Обновлена: 23.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найти частные производные и неявной функции , заданной выражением

Условие:

Найти частные производные $z_{x}^{\prime}$ и $z_{y}^{\prime}$ неявной функции $z(x ; y)$ , заданной выражением $\sqrt{\ln \left(z-x^{2} y\right)}=\operatorname{ctg} \frac{x^{y}}{(z-5)^{2}}$

Решение:

Решение задачи

1. Дано

Неявно заданная функция $z(x, y)$ :

\sqrt{\ln \left(z-x^{2} y\right)}=\operatorname{ctg} \frac{x^{y}}{(z-5)^{2}}

2. Найти

Частные производные $z'_{x}$ и $z'_{y}$ .

3. Решение

Для нахождения частных производных неявной функции $F(x, y, z) = 0$ мы можем использовать формулы:

\nz'_{x} = - \frac{F'_{x}}{F'_{z}} \quad \text{и} \quad z'_{y} = - \frac{F'_{y}}{F'_{z}}

Сначала перепишем исходное уравнение в виде $F(x, y, z) = 0$ :

\nF(x, y, z) = \sqrt{\ln \left(z-x^{2} y\right)} - \operatorname{ctg} \left( \frac{x^{y}}{(z-5)^{2}} \right) = 0

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для нахождения частных производных неявной функции $z(x, y)$, заданной уравнением $F(x, y, z) = 0$?

Метод подстановки, при котором $z$ выражается явно через $x$ и $y$ , а затем находятся обычные частные производные.

Использование формул $z'_{x} = - \frac{F'_{x}}{F'_{z}}$ и $z'_{y} = - \frac{F'_{y}}{F'_{z}}$ , где $F'_{x}$ , $F'_{y}$ и $F'_{z}$ — частные производные функции $F$ по соответствующим переменным, рассматривая $z$ как независимую переменную при дифференцировании по $x$ и $y$ .