Разбор задачи

Найти длину дуги астроиды , расположенной в первой координатной четверти

Условие:

Найти длину дуги астроиды $\left{

\begin{array}{l}x=6 \cos ^{3} t \\ y=6 \sin ^{3} t\end{array}

Чтобы найти длину дуги астроиды, заданной параметрическими уравнениями:

\left\{ \begin{array}{l}\nx = 6 \cos^3 t \\ y = 6 \sin^3 t \end{array} \right.

в первой координатной четверти, мы будем использовать формулу для длины дуги:

\nL = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt

где $a = 0$ и $b = \frac{\pi}{2}$ .

Шаг 1: Найдём производные $\frac{dx}{dt}$ и $\frac{dy}{dt}$ .

Для $x$ :

\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(6 \cos^3 t) = 6 \cdot 3 \cos^2 t \cdot (-\sin t) = -18 \cos^2 t \sin t

Для $y$ :

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для вычисления длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями?

Формула для площади поверхности вращения.

Формула для длины дуги: L = ∫ₐᵇ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

Формула для объёма тела вращения.

Не нашел нужную задачу?