Найти массу цилиндрического бруса, ограниченного поверхностями , считая объемную плотность .

Добавлена: 11.06.2026
Обновлена: 11.06.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория меры и интеграла

Найти массу цилиндрического бруса, ограниченного поверхностями , считая объемную плотность .

Условие:

Найти массу цилиндрического бруса, ограниченного поверхностями $x^{2}+y^{2}=4, \mathrm{z}=0, \mathrm{z}=2$ , считая объемную плотность $\rho=1$ .

Решение:

1. Дано

Область $V$ ограничена поверхностями:
Цилиндр $x^2 + y^2 = 4$ (радиус $R = 2$ )
Плоскость $z = 0$ (нижнее основание)
Плоскость $z = 2$ (верхнее основание)
Плотность $\rho = 1$

2. Найти

Массу бруса $M$ .

3. Решение

Масса тела $M$ при переменной плотности $\rho(x, y, z)$ вычисляется по формуле:

\nM = \iiint_V \rho(x, y, z) \, dx \, dy \, dz

Так как плотность $\rho = 1$ , масса численно равна объему тела:

\nM = \iiint_V 1 \, dx \, dy \, dz = V

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод интегрирования наиболее удобен для вычисления массы цилиндрического бруса, ограниченного поверхностями, заданными в декартовых координатах, если плотность постоянна?

Метод замены переменных на сферические координаты.

Метод замены переменных на цилиндрические координаты.

Метод интегрирования по частям в декартовых координатах.