Найти минимальное и максимальное значение на интервале функции

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Найти минимальное и максимальное значение на интервале функции

Условие:

Найти минимальное и максимальное значение на интервале $(0,2)$ функции

f(x)=\arccos \left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)+2 \operatorname{arcctg} \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}

Решение:

Рассмотрим функцию
f(x) = arccos(1 – x²/2) + 2 arcctg(x/√(4 – x²))
на интервале (0, 2).

Шаг 1. Сделаем замену переменной. Пусть
x = 2 sin α,
где α меняется от 0 до π/2 (так как при x ∈ (0, 2) sin α ∈ (0, 1)). Тогда
√(4 – x²) = √(4 – 4 sin²α) = 2 cos α.

Шаг 2. Преобразуем первый член. Подставляем замену в arccos:
1 – x²/2 = 1 –...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод преобразования функции f(x) = arccos(1 – x²/2) + 2 arcctg(x/√(4 – x²)) на интервале (0, 2) является наиболее эффективным для упрощения её вида?

Использование формул приведения для аркфункций.

Замена переменной x = 2 sin α.

Дифференцирование функции для нахождения критических точек.