1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Найти область сходимости и абсолютной сходимости функци...
Разбор задачи

Найти область сходимости и абсолютной сходимости функционального ряда

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Теория функций действительного переменного
Найти область сходимости и абсолютной сходимости функционального ряда

Условие:

Найти область сходимости и абсолютной сходимости функционального ряда

∑n=1∞(−1)n2n+1(1−x1+x)n. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{n} .

Решение:

Для нахождения области сходимости функционального ряда

∑n=1∞(−1)n2n+1(1−x1+x)n \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{n}

начнем с определения переменной

y=1−x1+x. y = \frac{1-x}{1+x}.

Теперь ряд можно переписать как

∑n=1∞(−1)n2n+1yn. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} y^{n}.

Это ряд с переменной (y). Чтобы найти область сходимости, применим признак Абеля для рядов с переменной. Мы будем использовать тест на абсолютную сходимость.

Рассмотрим абсолютную сходимость ряда:

∑n=1∞∣(−1)n2n+1yn∣=∑n=1∞∣y∣n2n+1. \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} y^{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|y|^{n}}{2 n+1}.

Для анализа сходимости этого ряда применим тест Даламбера (или тест на радиус сходимости). Рассмотрим предел:

lim⁡n→∞∣an+1an∣, \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|,

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для определения радиуса сходимости степенного ряда, полученного после замены переменной в исходном функциональном ряде?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я