Найти образ и ядро линейного оператора , действующего в пространстве строк длины 3 и переводящего строку в .

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Найти образ и ядро линейного оператора , действующего в пространстве строк длины 3 и переводящего строку в .

Условие:

Найти образ и ядро линейного оператора $\boldsymbol{A}$ , действующего в пространстве строк длины 3 и переводящего строку $x=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right)$ в $A(x)=\left(\xi_{3}, \xi_{1}+\xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}\right)$ .

Решение:

Для нахождения образа и ядра линейного оператора $\boldsymbol{A}$ , действующего в пространстве строк длины 3, начнем с определения самого оператора.

Оператор $\boldsymbol{A}$ переводит строку $x = (\xi_1, \xi_2, \xi_3)$ в строку $A(x) = (\xi_3, \xi_1 + \xi_2, \xi_1 + \xi_2 + \xi_3)$ .

Шаг 1: Найдем ядро оператора $\boldsymbol{A}$

Ядро оператора $\boldsymbol{A}$ состоит из всех строк $x$ , для которых $A(x) = 0$ . То есть, мы ищем такие $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ , что:

A(x) = (\xi_3, \xi_1 + \xi_2, \xi_1 + \xi_2 + \xi_3) = (0, 0, 0)

Это приводит к сист...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно ядра (ker) и образа (Im) линейного оператора A, определенного как A(x) = (ξ₃, ξ₁ + ξ₂, ξ₁ + ξ₂ + ξ₃) для x = (ξ₁, ξ₂, ξ₃)?

ker(A) = span{(1, 1, 0)} и Im(A) = {(a, b, a + b) | a, b ∈ ℝ}

ker(A) = span{(1, -1, 0)} и Im(A) = {(a, b, a + b) | a, b ∈ ℝ}

ker(A) = span{(0, 0, 1)} и Im(A) = {(a, b, a + b) | a, b ∈ ℝ}