Найти общее решение дифференциального уравнения . ) ; б) .

Добавлена: 14.04.2026
Обновлена: 14.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения . ) ; б) .

Условие:

Найти общее решение дифференциального уравнения $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)$ .\na) $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=10 e^{-3 x}$ ; б) $y^{\prime \prime}-y=e^{2 x} \sin \left(e^{x}\right)$ .

Решение:

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка вида

y^{\prime\prime} + p y^{\prime} + q y = f(x),

нам нужно решить однородное уравнение и затем найти частное решение неоднородного уравнения.

a) Уравнение:

y^{\prime\prime} + 6 y^{\prime} + 9 y = 10 e^{-3x}.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения

y^{\prime\prime} + 6 y^{\prime} + 9 y = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид:

r^2 + 6r + 9 = 0.

Решим его:

(r + 3)^2 = 0 \Rightarrow r = -3 \text{ (двойной корень)}.

Общее решение однородного уравнения:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

Метод интегрирующего множителя

Метод вариации произвольных постоянных или метод неопределенных коэффициентов

Метод разделения переменных