Найти общее решение линейного дифференциального уравнения: , .

Добавлена: 16.04.2026
Обновлена: 16.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения: $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}=7-10 x$ , $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-8 y=74 \sin 2 x$ .

Решение:

Уравнение а)

Дано:

\ny^{\prime \prime} - 5y^{\prime} = 7 - 10x

Найти: Общее решение уравнения.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения

Сначала решим однородное уравнение:

\ny^{\prime \prime} - 5y^{\prime} = 0

Характеристическое уравнение:

\nr^2 - 5r = 0

Решим его:

\nr(r - 5) = 0 \Rightarrow r_1 = 0, \quad r_2 = 5

Общее решение однородного уравнения:

\ny_h = C_1 + C_2 e^{5x}

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы.

Шаг 2: Найдем частное решение

Теперь найдем частное решение $y_p$ для неоднородного уравнения. Используем метод...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом неопределенных коэффициентов, какой вид частного решения следует выбрать для правой части вида $f(x) = P_n(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ или $f(x) = P_n(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x)$, если $\alpha + i\beta$ является корнем характеристического уравнения кратности $k$?

(y_p = x^k e^{\alpha x} (Q_n(x)\cos(\beta x) + R_n(x)\sin(\beta x)))

(y_p = e^{\alpha x} (Q_n(x)\cos(\beta x) + R_n(x)\sin(\beta x)))

(y_p = x e^{\alpha x} (Q_n(x)\cos(\beta x) + R_n(x)\sin(\beta x)))