Найти площадь внутри астроиды с помощью криволинейного интеграла. Астроида:

Мы хотим найти площадь, ограниченную кривой, заданной параметрически уравнениями
  x = cos³t,
  y = sin³t,   t ∈ [0, 2π].

Для этого воспользуемся формулой площади через криволинейный интеграл:
  A = ½ ∮ (x dy – y dx).

Найдём по t дифференциалы dx и dy.

1. Найдём производную x по t:
     x = cos³t  ⇒ dx/dt = 3 cos²t · (–sin t) = –3 cos²t sin t.
     Следовательно, dx = –3 cos²t sin t dt.
   
   
2. Найдём производную y по t:
     y = sin³t  ⇒ dy/dt = 3 sin²t cos t.
     Следовательно, dy = 3 sin²t cos t dt.<br...