Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, образованную заданными поверхностями (нормаль внешняя). ,

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, образованную заданными поверхностями (нормаль внешняя). ,

Условие:

Найти поток векторного поля $\vec{a}$ через замкнутую поверхность, образованную заданными поверхностями (нормаль внешняя). $\vec{a}=\left(x y^{2}+y z\right) \vec{i}+\left(x^{2} y+z^{2}\right) \vec{j}+\left(x^{2}+z^{3} / 3\right) \vec{k}$ , $

\begin{array}{r}\nx^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ z=0 \quad(z \geq 0) \end{array}

Решение:

Мы хотим найти поток векторного поля
a = (x·y² + y·z) i + (x²·y + z²) j + (x² + z³/3) k
через замкнутую поверхность, которая состоит из двух частей: верхней полусферы (x² + y² + z² = 1, z ≥ 0) и круга (x² + y² ≤ 1, z = 0), при условии, что нормаль направлена наружу.

Наша стратегия – воспользоваться теоремой Гаусса (дивергенциальной теоремой), которая утверждает, что поток через замкнутую поверхность равен трёхмерному интегралу по объёму V от дивергенции векторного поля:

∮_S a · n dS = ∭_V (div a) dV.

Ниже приведём пошаговое решение...