Найти производную порядка и записать формулу Тейлора этой функции с остатком в форме Пеано в точке :

Для нахождения производной функции $f(x) = \ln \frac{1+x}{3x+1}$ в точке $x_0 = 0$ и записи формулы Тейлора с остатком в форме Пеано, следуем следующим шагам:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

   $$f(0) = \ln \frac{1+0}{3 \cdot 0 + 1} = \ln 1 = 0.$$

2. Найдем первую производную $f'(x)$: Используем правило производной логарифма:

   $$f'(x) = \frac{1}{\frac{1+x}{3x+1}} \cdot \frac{(3x+1)(1) - (1+x)(3)}{(3x+1)^2}.$$
   Упростим числитель:
   $$(3x+1) - (3 + 3x) = 1 - 3 = -2.$$
   Таким образом, производная будет:
   $$f'(x) = \frac{-2}{(3x+1)(1+x)}.$$

3. Найдем значение первой производной в точке $x_0 = 0$:

   $$f'(0) = \frac{-2}{(3 \cdot 0 + 1)(1 + 0)} = -2.$$
   ...