Найти производные функций. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы. Составить уравнение касательной к функции в точке с абсциссой .

Условие:

Найти производные функций.

\begin{array}{l}\ny=(\operatorname{tg} 2 x)^{\sin x} \\ y=x^{x^{2}} \end{array}

Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы.

\begin{array}{l} \lim _{x \rightarrow 0}\left(\operatorname{ctg} x-\frac{1}{x}\right) \\ \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{2}{x}} \end{array}

Составить уравнение касательной к функции $y=-x^{2}+2 x-1$ в точке с абсциссой $x=0$ .

Для нахождения производной этой функции, воспользуемся логарифмическим дифференцированием.

Возьмем натуральный логарифм обеих сторон:
$\ln y = \sin x \cdot \ln(\tan(2x))$
Теперь дифференцируем обе стороны по $x$ :
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(\tan(2x)) + \sin x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\tan(2x)))$
Для нахождения производной $\frac{d}{dx}(\ln(\tan(2x)))$ используем правило производной логарифма:
$\frac{d}{dx}(\ln(\tan(2x))) = \frac{1}{\tan(2x)} \cdot \sec^2(2x) \cdot 2 = \frac{2 \sec^2(2x)}{\tan(2x)}$
Подставим это обратно в уравнение:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(\tan(2x)) + \sin x \cdot \frac{2 \sec^2(2x)}{\tan(2x)}$
...