Не раскрывая определителей, доказать тождество

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Условие:

Не раскрывая определителей, доказать тождество $ \left|

\begin{array}{lll}\na_{1}+b_{1} x & a_{1} x+b_{1} & c_{1} \\ a_{2}+b_{2} x & a_{2} x+b_{2} & c_{2} \\ a_{3}+b_{3} x & a_{3} x+b_{3} & c_{3} \end{array}

\begin{array}{lll}\na_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}

Решение:

Рассмотрим определитель

D(x) = | a₁ + b₁x a₁x + b₁ c₁
a₂ + b₂x a₂x + b₂ c₂
a₃ + b₃x a₃x + b₃ c₃ |.

Обратим внимание, что первые два столбца можно записать как линейные комбинации векторов, составленных из aᵢ и bᵢ. Действительно, обозначим за A столбец (a₁, a₂, a₃)ᵀ и за B столбец (b₁, b₂, b₃)ᵀ. Тогда

первый столбец = A + x·B,
второй столбец = x·A + B.

Поскольку детерминант является билинейной (линейной по каждому столбцу) и мультиалтернирующим, мы можем разложить...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство определителя позволяет разложить его на сумму нескольких определителей, если один из его столбцов (или строк) представлен в виде суммы двух векторов?

Свойство антисимметричности (перестановка двух столбцов меняет знак определителя).

Свойство линейности (билинейности) определителя по столбцам (или строкам).

Свойство равенства определителя нулю при наличии пропорциональных столбцов.