Отображение пространства свободных векторов в себя задано формулой , где - некоторый фиксированный вектор. Доказать, что это отображение является линейным оператором, а также найти его образ и ядро. Записать матрицу этого оператора в базисе , если .

1. Дано

1. Пространство свободных векторов $V_3$.
2. Отображение $f: V_3 \rightarrow V_3$, заданное формулой векторного произведения: $f(\vec{x}) = \vec{a} \times \vec{x}$, где $\vec{a} \in V_3$ — фиксированный вектор.
3. Компоненты вектора $\vec{a}$ в базисе $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$: $\vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{j} + 8\vec{k}$.

2. Найти

1. Доказать, что $f$ — линейный оператор.
2. Найти образ $\text{Im}(f)$.
3. Найти ядро $\text{Ker}(f)$.
4. Записать матрицу оператора $A$ в базисе $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

3. Решение

Часть 1: Доказательство линейности оп...