Показать, что производные по любому направлению функции в точке равны нулю.

Решение задачи

1. Дано

Дана функция двух переменных:

2. Найти

Необходимо показать, что производная функции $z$ по любому направлению $\vec{u}$ в точке $P_0$ равна нулю, то есть $\frac{\partial z}{\partial \vec{u}}\left(x_0, y_0\right) = 0$ для любого единичного вектора $\vec{u}$.

3. Решение

Производная функции $z(x, y)$ по направлению вектора $\vec{u} = (\cos \alpha, \sin \alpha)$ (где $\vec{u}$ — единичный вектор...