1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Покажите, что если путь , соединяющий точки 0 и 1 , не...
Разбор задачи

Покажите, что если путь , соединяющий точки 0 и 1 , не проходит через точки , то где - целое число.

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Теория функций комплексного переменного
Покажите, что если путь , соединяющий точки 0 и 1 , не проходит через точки , то где - целое число.

Условие:

Покажите, что если путь γ\gamma, соединяющий точки 0 и 1 , не проходит через точки ±i\pm i, то

γdz1+z2=π4+kπ \int_{\gamma} \frac{d z}{1+z^{2}}=\frac{\pi}{4}+k \pi

где kk - целое число.

Решение:

1. Дано

  • Подынтегральная функция: f(z)=11+z2f(z) = \frac{1}{1+z^2}.
  • Контур интегрирования γ\gamma: Путь, соединяющий точки z1=0z_1 = 0 и z2=1z_2 = 1 в комплексной плоскости C\mathbb{C}.
  • Ограничение: Контур γ\gamma не проходит через особые точки z=±iz = \pm i.

2. Найти

Показать, что значение интеграла равно:

γdz1+z2=π4+kπ \int_{\gamma} \frac{d z}{1+z^{2}}=\frac{\pi}{4}+k \pi
где kZk \in \mathbb{Z} (целое число).

3. Решение

Шаг 1: Нахождение особых точек и первообразной

Подынтегральная функция f(z)=11+z2f(z) = \frac{1}{1+z^2} имеет простые полюсы там, где знаменатель равен нулю:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Почему значение интеграла $\int_{\gamma} \frac{dz}{1+z^2}$ может отличаться на $k\pi$ при интегрировании по разным путям $\gamma$, соединяющим одни и те же начальную и конечную точки, если эти пути не проходят через особые точки?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Выбери предмет