Покажите, что если путь , соединяющий точки 0 и 1 , не проходит через точки , то где - целое число.

Добавлена: 11.04.2026
Обновлена: 11.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций комплексного переменного

Покажите, что если путь , соединяющий точки 0 и 1 , не проходит через точки , то где - целое число.

Условие:

Покажите, что если путь $\gamma$ , соединяющий точки 0 и 1 , не проходит через точки $\pm i$ , то

\int_{\gamma} \frac{d z}{1+z^{2}}=\frac{\pi}{4}+k \pi

где $k$ - целое число.

Решение:

1. Дано

Подынтегральная функция: $f(z) = \frac{1}{1+z^2}$ .
Контур интегрирования $\gamma$ : Путь, соединяющий точки $z_1 = 0$ и $z_2 = 1$ в комплексной плоскости $\mathbb{C}$ .
Ограничение: Контур $\gamma$ не проходит через особые точки $z = \pm i$ .

2. Найти

Показать, что значение интеграла равно:

\int_{\gamma} \frac{d z}{1+z^{2}}=\frac{\pi}{4}+k \pi

где

k \in \mathbb{Z}

(целое число).

3. Решение

Шаг 1: Нахождение особых точек и первообразной

Подынтегральная функция $f(z) = \frac{1}{1+z^2}$ имеет простые полюсы там, где знаменатель равен нулю:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Почему значение интеграла $\int_{\gamma} \frac{dz}{1+z^2}$ может отличаться на $k\pi$ при интегрировании по разным путям $\gamma$, соединяющим одни и те же начальную и конечную точки, если эти пути не проходят через особые точки?

Из-за того, что подынтегральная функция $\frac{1}{1+z^2}$ имеет простые полюсы в точках $\pm i$ , и выбор пути интегрирования влияет на то, какие ветви многозначной первообразной $\arctan(z)$ используются.