Построить ортонормированный базис в R^3 по данному базису: 1= (1,2,1),x2=(1,3,0),x3= (1,- 2,-1).

Для построения ортонормированного базиса в R^3 по данному базису, мы можем использовать метод Грама-Шмидта. Давайте обозначим векторы:

x1 = (1, 2, 1)
x2 = (1, 3, 0)
x3 = (1, -2, -1)

Шаг 1: Нормируем первый вектор x1.

Норму вектора x1 вычисляем по формуле:
||x1|| = √(1^2 + 2^2 + 1^2) = √(1 + 4 + 1) = √6.

Теперь нормируем вектор:\ne1 = x1 / ||x1|| = (1/√6, 2/√6, 1/√6).

Шаг 2: Находим второй вектор e2, ортогональный e1.

Сначала проецируем x2 на e1:\nproj_e1(x2) = (x2 • e1) e1,
где • - скалярное произведение.

Вычислим скалярное произведение x2 и e1:
x2 • e1 = (1, 3, 0) • (1/√6, 2/√6, 1/√6) = 1/√6 + 6/√6 + 0 = 7/√6.

Теперь находим проекцию:\nproj_...